La révolution Markowitz

Lorsque paraît l’article d’Harry Markowitz « Portfolio Selection », en 1952, un certain nombre de conceptions floues, voire erronées, circulent sur le concept de diversification. La bible des ouvrages sur l’investissement boursier, le célèbre Security Analysis de Benjamin Graham et David Dodd, n’aborde que très partiellement le sujet. Sur les 725 pages que compte l’édition de 1934, le terme « diversification » n’est mentionné que cinq fois, et les consignes des auteurs sur le sujet sont tout sauf claires : il faut diversifier... mais pas trop. En effet, « trop d’actifs » signifie une connaissance moins fine de chacun d’eux¹, des choix moins éclairés et donc une performance moindre. S’agissant des approches plus scientifiques, on trouve dans le très réputé The Theory of Investment Value de John Burr Williams, paru en 1938, l’affirmation selon laquelle le risque d’un portefeuille largement diversifié tend vers zéro. Le raisonnement s’appuie sur la loi des grands nombres et sur la compensation supposée des pertes supportées sur les actifs sous-performants par les gains réalisés sur les actifs sur-performants. Bien que séduisant, ce raisonnement est faux.

Markowitz fait le constat d’une incohérence : Williams postule que l’objectif d’un investisseur est la maximisation de ses revenus anticipés futurs actualisés. Si tel est le cas, le choix optimal consiste donc à investir dans l’actif, unique, qui permet d’atteindre cet objectif. Mais alors, pourquoi les investisseurs diversifient-ils leurs portefeuilles ? Markowitz propose un objectif différent, qui permet de résoudre ce paradoxe : les investisseurs ne s’intéressent pas à la seule rentabilité attendue, mais au couple rentabilité-risque.

Partant de ce principe, un cadre d’analyse radicalement nouveau est proposé, en vue d’explorer les implications de cette façon inédite de considérer l’objectif d’un investisseur. L’un des grands apports de Markowitz est de mobiliser la boîte à outils probabiliste et les métriques qui en découlent pour formaliser la question de la construction d’un portefeuille :

– premier élément : les fluctuations de cours d’une action étant imprévisibles, la meilleure façon de les représenter est d’assimiler le taux de rentabilité d’un titre à une variable aléatoire ;

– deuxième élément : les investisseurs étant intéressés par les revenus anticipés de leurs placements, l’analyse doit prendre en compte l’espérance du taux de rentabilité des titres considérés ;

– troisième élément : la formalisation des choix d’investissement doit faire intervenir le risque encouru. Une métrique naturelle du risque est la variance des taux de rentabilité d’un titre² ;

– quatrième et dernier élément : puisqu’il est clair que les prix des actifs ne fluctuent pas de façon indépendante, il est nécessaire d’intégrer ces « comouvements » dans la formalisation du problème.

De façon assez naturelle là aussi, Markowitz propose de mesurer les interdépendances entre actifs à l’aide de la covariance de leurs taux de rentabilité.

Ce cadre étant posé, l’étape suivante consiste à passer des caractéristiques des actifs individuels à celles d’un portefeuille. Le taux de rentabilité d’un portefeuille p n’est qu’une combinaison linéaire des taux de rentabilité des actifs individuels qui le constituent, chaque actif i contribuant au taux de rentabilité du portefeuille à hauteur de son poids x_i. En appliquant les formules permettant de calculer l’espérance et la variance d’une somme de variables aléatoires, on aboutit au problème d’optimisation figurant dans l’encadré ci-dessus. Ce problème n’est que la traduction de l’objectif qu’assigne Markowitz à un investisseur : compte tenu de l’objectif de rentabilité que se fixe ce dernier (première contrainte), son but est de déterminer les poids faisables (seconde contrainte) qui permettent d’atteindre la rentabilité cible tout en minimisant le risque supporté.

La résolution de ce programme³ permet à Markowitz d’établir plusieurs résultats fondamentaux. Premièrement, pour un niveau d’espérance de rentabilité donné, il existe une combinaison de poids, et donc un portefeuille, unique minimisant le risque. Markowitz qualifie ce portefeuille de portefeuille efficient. L’ensemble des portefeuilles efficients constitue ce que l’on a depuis l’habitude de nommer la frontière efficiente (voir le graphique « Frontière efficiente »). Deuxièmement, sauf cas particulier, ce portefeuille ne se réduit pas à un actif unique : ce point explique pourquoi les investisseurs ont tendance et ont même intérêt à diversifier. Troisièmement, et contrairement à ce qu’affirmait Williams, le risque (la variance) d’un portefeuille bien diversifié ne tend pas vers zéro mais vers la covariance moyenne des titres entrant dans sa composition. Quatrièmement, et découlant du résultat précédent, la décision d’inclure un titre dans un portefeuille, en vue de diminuer son risque, ne doit pas être prise sur la base de la variance des taux de rentabilité du titre, mais en fonction de la covariance qui est la sienne avec les autres titres du portefeuille. En effet, même s’il est individuellement risqué (σ²(Ri) élevé), un titre peut tout à fait contribuer à abaisser la covariance moyenne des titres entre eux, et donc le risque du portefeuille dans lequel il est intégré.

Le cadre proposé par Markowitz ne considère que des actifs risqués. Autrement dit, aucun des actifs i n’a une variance nulle. Il revient à Tobin (1958) d’avoir analysé les conséquences pour les choix de portefeuille de l’introduction d’un actif sans risque dans le cadre initial. Ces conséquences sont importantes. Premièrement, la frontière efficiente, qui prend la forme d’une hyperbole chez Markowitz, se transforme en une demi-droite⁵ d’origine le taux sans risque, tangente à la frontière initiale en un point appelé le portefeuille de tangence. Deuxièmement, on peut montrer que cette nouvelle frontière peut être entièrement générée par combinaison de deux « fonds » : l’actif sans risque et le portefeuille de tangence. Troisièmement : alors même que l’on pourrait penser que deux investisseurs ayant des appétits pour le risque différents choisiront des portefeuilles risqués différents, Tobin montre que tel n’est pas le cas. Les deux investiront dans le même portefeuille de tangence. La seule différence résidera dans le montant investi par chacun dans le portefeuille de tangence relativement à celui investi dans l’actif sans risque. Le choix du portefeuille risqué utilisé est donc séparé de l’attitude vis-à-vis du risque de chacun.

L’analyse de Sharpe s’inscrit dans le prolongement de celle de Tobin. Deux hypothèses supplémentaires font leur apparition. Tout d’abord, le marché considéré est un marché à l’équilibre, où chaque investisseur détient un portefeuille correspondant au couple rentabilité-risque optimal compte tenu de ses préférences. De plus, les investisseurs ont des anticipations homogènes quant à l’espérance de rentabilité, la variance et la covariance des différents actifs. La conséquence de cette hypothèse est que tous les investisseurs détiennent le même portefeuille de tangence, qui n’est autre que le portefeuille de marché, à savoir le portefeuille contenant tous les actifs risqués. Le théorème de séparation s’appliquant toujours, le choix optimal pour un investisseur consiste à détenir un mix d’actif sans risque et de portefeuille de marché, dans des proportions dépendant de son appétit pour le risque. Le message en termes de diversification est clair  : la diversification optimale est une diversification maximale.

Le caractère révolutionnaire de l’apport de Markowitz ne doit pas faire oublier certaines limites de l’approche proposée. Elles sont nombreuses et seules quelques-unes seront ici mentionnées. D’un point de vue conceptuel par exemple, assimiler le risque d’un actif à sa variance (ou à son écart-type) est réducteur et n’a vraiment de sens que dans un univers de taux de rentabilité gaussiens. De même, modéliser les co-mouvements entre actifs à l’aide de la covariance revient à ne considérer que la composante linéaire de la structure de dépendance qui est la leur. L’application de la démarche proposée par Markowitz pose d’importants problèmes pratiques concernant notamment l’estimation des covariances des titres entre eux (près de 2 millions pour 2 000 titres). Appliquée au pied de la lettre, elle aboutit à des portefeuilles aberrants (très forte concentration sur certains titres, absence de logique apparente...).

Comme le fait remarquer Markowitz dans son article de 1952, la construction d’un portefeuille se fait en deux temps : la première étape consiste, à partir des anticipations sur le comportement futur des titres, à déterminer les valeurs des paramètres permettant de passer à l’étape 2, « algorithmique », qui est celle dont traite Markowitz. L’étape 1 est cruciale, et sans doute la plus compliquée.

L’analyse statistique des propriétés des actifs est un point de départ incontournable. Cependant, comme le souligne Markowitz, elle ne saurait se passer du « judgment of practical men ». Combiner anticipations, jugement et diversification à la Markowitz : c’est ce que feront Black et Litterman en 1990.

L’univers d’investissement initial est constitué des actifs individuels représentés en termes de couple Volatilité (et non variance)/Rentabilité. L’ensemble des portefeuilles efficients pouvant être constitués à partir de ces actifs correspond à la courbe (hyperbole) en pointillés.