Les marchés financiers sont vus aujourd’hui par certains comme des sources de revenus plus ou moins faciles, pour des acteurs qui « spéculent » plus ou moins sans contrôle sur les valorisations des entreprises, sur les dettes des États ou sur des prix de matières premières, y compris agricoles. Les produits dérivés – dont la popularité a crû en partie grâce à l’évolution des mathématiques financières ces 40 dernières années et à l’utilisation massive d’outils informatiques – sont parfois considérés comme des instruments qui ont facilité et même soutenu les actions de ces « spéculateurs ».
Bien avant l’arrivée des mathématiques dans le domaine de la finance, les marchés financiers étaient déjà perçus comme des sources de revenus pour des « gros » spéculateurs, et des sources de pertes pour les « petits » spéculateurs. En juin 1815, Nathan de Rothschild dont la fortune était déjà bien établie, avait obtenu l’information de la défaite française à la bataille de Waterloo. Il se hâta alors de vendre ses actions « English Council » à la Bourse de Londres, faisant ainsi croire que l’Angleterre avait perdu et engendrant une vague de désengagements massifs des investisseurs de ces actions. C’est alors que le Baron de Rothschild racheta discrètement pour une bouchée de pain et réussit à multiplier sa fortune par vingt dès que la nouvelle officielle sur la bataille fut connue à Londres. Le film Le Sucre de Jacques Rouffio (1978) illustre la fiction populaire autour de ce sujet en retraçant la formation et l’explosion d’une bulle spéculative sur le marché à terme sur le sucre en 1974 : un petit épargnant, Adrien Courtois (Jean Carmet), qui avait investi sur les marchés à terme selon les conseils du vicomte Raoul-Renaud d'Homecourt de la Vibraye (Gérard Depardieu), se retrouve ruiné, alors que d’importants financiers, dont Grézillo (Michel Piccoli) et Roger Karbaoui (Roger Hanin), en ressortent encore enrichis, l’État ayant pris à sa charge une partie des pertes encourues.
La crise financière et économique que nous vivons depuis maintenant quatre ans a conduit certains à attribuer une part de responsabilité aux modèles mathématiques utilisés sur les marchés financiers, et par conséquent à ceux qui ont contribué à les développer, à les populariser ou à les utiliser. Il est donc naturel de s’interroger sur la contribution réelle des modèles mathématiques à l’efficacité des marchés financiers.
Dans un premier temps, nous illustrerons par des exemples les apports des modèles mathématiques aux marchés financiers, et plus généralement aux clients des établissements financiers. Puis, nous évoquerons les limites de l’utilisation de ces modèles, et les conséquences que peuvent avoir des hypothèses trop réductrices, voire des erreurs. Nous conclurons sur l’intérêt de ces modèles de mathématiques financières et sur l’utilité de les faire évoluer, de les rendre plus complets (et par conséquent plus complexes), mais simultanément sur la nécessité de renforcer leurs contrôles.
Les apports des modèles mathématiques aux marchés financiers
Nous n’allons pas ici refaire une histoire des mathématiques financières, ou de l’apport des mathématiques appliquées (probabilités, équations aux dérivées partielles et statistiques) à la finance. Le lecteur cherchant à approfondir cette question pourra par exemple se référer à
Les produits dérivés : des instruments de couverture pour les entreprises
Les options constituent les premiers exemples de produits proposés par une banque à ses clients, découlant de l’utilisation de modèles mathématiques. Aujourd’hui, un industriel qui veut se protéger contre une hausse du prix d’une matière première, d’une hausse de ses coûts de production ou d’une baisse de son prix de vente en raison de la fluctuation des taux de change, peut acheter une option sur matières premières ou une option de change. Grâce aux modèles de valorisation et de couverture des options, un établissement peut, en effet, faire l’intermédiaire entre différents acteurs, entre différentes catégories de clients, dont les intérêts divergent sans pour autant s’opposer parfaitement.
La sophistication croissante des modèles de valorisation utilisés a permis la distribution de nouveaux profils d’options, permettant, selon leurs vendeurs, de mieux répondre aux besoins des clients, ou de diminuer le coût d’une protection recherchée.
L’exemple des prêts immobiliers à taux fixe
En France, comme dans certains autres pays, la majeure partie des prêts accordés aux particuliers en vue de l’achat d’un bien immobilier sont des prêts à taux fixes. Ce type de prêt est très souvent considéré comme protégeant au mieux l’emprunteur, celui-ci étant certain du montant des mensualités à venir jusqu’à l’échéance de son
- l’horizon et le renouvellement à venir des ressources n’est pas certain ;
- les remboursements anticipés, voire les défauts des contreparties, ainsi que la production de nouveaux prêts sont également aléatoires.
Pour gérer le risque de taux résultant des prêts à taux fixe, les départements de gestions
Plus généralement, les processus d’octroi, puis de gestion, de l’ensemble des prêts – par exemple, les prêts accordés aux entreprises ou les prêts à la consommation – bénéficient de l’utilisation de modèles mathématiques. Les statisticiens ont développé des méthodes de scoring, pour une meilleure appréciation de la qualité des emprunteurs, et des modèles avancés d’analyse des remboursements anticipés. Ces outils combinés avec les probabilités, les équations aux dérivées partielles et l’analyse numérique ont soutenu le développement du marché des titres adossés à des pools de créances hypothécaires. Le marché du crédit a depuis connu un développement vertigineux, exploitant l’idée formidable d’un mécanisme de refinancement du crédit par les investisseurs financiers, jusqu’à l’explosion du système lors de la dernière crise...
Fonds propres pour les institutions de crédit
Des modèles statistiques sont également largement utilisés pour le calcul de l’exigence en fonds propres réglementaires liés aux risques de défauts encourus par les établissements de crédit qui proposent ces produits (modèles communément appelés « modèle Bâle II », en référence aux recommandations du Comité de Bâle sur la
Des modèles qui n’en portent pas le nom
Pour terminer cette liste, il nous semble indispensable de rappeler que certains calculs qui nous semblent simples, résultent en fait d’hypothèses fortes, et doivent également être considérés comme des modèles.
Il en va ainsi en premier lieu du calcul de la valorisation d’un portefeuille. Le fait de considérer que la valeur d’un portefeuille constitué d’une quantité N d’un titre de prix unitaire S est égale à N×S repose sur une hypothèse forte : la valeur de ce portefeuille est considérée comme ne devant pas tenir compte du rapport entre la taille du portefeuille N et les volumes de titres échangés sur les marchés. La valeur du portefeuille ainsi calculée ne peut donc être assimilée à une valeur de liquidation que si l’on suppose que la liquidité des marchés est très grande par rapport à la taille du portefeuille. Elle est donc le résultat d’un modèle. Les acteurs de marché ont bien évidemment conscience de l’importance de ce phénomène de liquidité. Ainsi, les services d’exécution d’ordre utilisent des modèles dits « d’impact » pour fractionner leurs accès au marché, les gestionnaires de portefeuille ont mis en place des fonds dits « fermés », bien conscients que leurs stratégies de portefeuille sont relatives à la taille du capital géré.
Il en va également pour les calculs de fonds propres réglementaires des établissements de crédit selon les méthodes dites « standard ». Par exemple, les établissements financiers ont le choix entre l’utilisation d’une méthode dite « standard » pour le calcul de l’exigence de fonds propres au titre du risque de marché de son portefeuille de négociation et une
En fait, dès lors que l’on cherche à quantifier la valeur ou le risque d’un portefeuille, il est nécessaire de recourir à un modèle, lequel peut paraître très simple, mais dont les hypothèses peuvent être alors très fortes.
Des modèles qui peuvent augmenter la liquidité des marchés
Grâce à des modèles mathématiques de calcul de risque ou de valorisation, de nouveaux instruments financiers ont pu être créés, qui ont contribué à rendre liquides des instruments qui ne l’étaient pas. On peut citer en premier l’exemple de la titrisation dont le principe est de fabriquer des instruments associés à des niveaux de risque différents (les différentes tranches d’une titrisation) à partir de prêts (à des particuliers, à des entreprises) qui sont par essence illiquides.
On peut également citer les Credit Default Swaps (CDS) : ces produits dérivés, qui n’auraient pu exister sans modèle de valorisation associé, ont contribué à rendre les marchés obligataires plus transparents, et donc plus
Une utilisation qui dépasse la demande des « spéculateurs »
De cette liste, même succincte, d’application des mathématiques financières, deux conclusions peuvent être énoncées. La première est qu’il n’est pas possible de faire de la finance sans modèles mathématiques. La seconde est que les modèles mathématiques utilisés sur les marchés financiers ont des intérêts qui dépassent très largement la demande des « spéculateurs », mais bénéficient au plus grand nombre. Pire encore, tous les modèles de mathématiques financières sont fondés sur le postulat d’absence d’arbitrage, c'est-à-dire l’impossibilité de dégager un bénéfice non risqué sans apport de fonds et de risque de pertes possibles. Ce postulat est la seule loi fondamentale des marchés financiers sans laquelle les opérateurs afficheraient des prix qui pourraient être immédiatement exploités par des arbitrageurs. La prise en compte de l’absence d’arbitrage est à l’origine de toutes les techniques de calibration qui conditionnent souvent la nature de la modélisation choisie.
Les limites des modèles
La crise récente a eu des conséquences très lourdes pour beaucoup : perte d’un emploi, d’un logement, d’une épargne, hausse des déficits publics... Elle a aussi mis en évidence auprès du grand nombre certaines limites des modèles de valorisation ou de calcul des risques utilisés sur les marchés financiers, dont nous commentons quelques lacunes principales.
Risque de liquidité endogène
La non-prise en compte de la
La crise des subprimes a éclaté lorsque tous les intervenants ont pris conscience du fait que tous les emprunteurs n’allaient pouvoir faire face à leurs charges d’emprunt qu’en revendant leurs biens immobiliers à de nouveaux emprunteurs.
Jusqu’à présent, la liquidité endogène n’est que très peu prise en compte dans la valorisation comptable des instruments financiers. Alors que la réglementation prudentielle incite les établissements de crédit à tenir compte de la concentration ou de la taille des positions dans l’appréciation des
Risque systémique
Les acteurs vont souvent dans le même sens, que ce soit pour des raisons structurelles ou par mimétisme. On peut citer l’exemple de la bulle Internet de 2000, ou, plus récemment, le fait qu’à la fin des années 2000, les établissements de crédit ont vendu massivement des produits d’investissement ou des emprunts structurés indexés sur des différentiels de taux d’intérêt, construits sous l’hypothèse que la structure croissante de la courbe des taux d’intérêts en EUR allait persister.
Les modèles utilisés communément excluent toute interaction entre les différents agents, ou entre les actions de ceux-ci et les prix de marchés : prendre en compte ces interactions nécessiterait la résolution de problèmes techniques relativement lourds. Pourtant, cette simplification peut avoir des conséquences non négligeables. Ainsi, lors des mouvements brusques de la pente de la courbe des taux en 2008, un grand nombre de banques ayant cherché simultanément et de manière similaire à ajuster leurs couvertures, les coûts de ces réajustements ont augmenté.
Mêmes si les opérateurs de marché sont souvent conscients du risque systémique, la prise en compte de celui-ci – intimement lié à la problématique de la liquidité endogène déjà citée – dans les modèles de valorisation, dans les modèles de mesures de risque, et même plus simplement dans le suivi des risques de marché est constamment à améliorer.
Risque de contrepartie sur les produits dérivés
Parmi les lacunes des modèles de valorisation mis en place dans les établissements de crédit figure la prise en compte du risque de contrepartie dans la valorisation des produits dérivés. En lien avec l’absence de prise en compte du risque de liquidité endogène, la sous-estimation du risque de contrepartie des produits dérivés a contribué à la crise des monolines : pendant les années 2000, les établissements de crédit ont empilé des achats de protection sous forme de credit default swaps (CDS) sans nécessairement prendre en compte correctement les risques, et donc en en surestimant la valeur.
Cette carence est, elle, progressivement corrigée : les établissements de crédit, soit par eux-mêmes, soit sous l’impulsion des superviseurs et des normalisateurs comptables, intègrent de mieux en mieux, via des ajustements de valorisation (Credit Valuation Adjustment – CVA), l’impact de la qualité de la contrepartie sur la valorisation des produits dérivés. Simultanément, afin de réduire ce risque, de nombreux accords de collatéralisation (Credit Support Annex – CSA) ont été mis en place.
Modèles de mesure de risque
Les modèles mathématiques utilisés pour la quantification des risques des établissements de crédit ne doivent pas non plus être considérés comme infaillibles. Ainsi, dans leurs rapports annuels, certains établissements de crédit n’ont pas hésité à communiquer sur les imperfections de leurs modèles utilisés pour les calculs de fonds propres réglementaires.
De son côté, le Comité de Bâle sur le contrôle bancaire cherche constamment à combler les carences des modèles de mesure de risque. C’est dans cet esprit qu’a par exemple été publiée une revue de la littérature académique relative à la mesure des risques du
Le cas particulier du trading à haute fréquence
Depuis une dizaine d’années, des automates (ou algorithmes) de trading à haute fréquence sont utilisés par des gérants de fonds spéculatifs (hedge funds), ou même par des opérateurs de marchés au sein même des portefeuilles de négociation des établissements de crédit.
Ces automates fonctionnent selon les grandes lignes suivantes. Des modèles statistiques sophistiqués sont développés pour l’estimation dynamique des carnets d’ordre. Afin de prendre en compte l’impact d’une transaction sur le carnet d’ordre, les ordres d’achat et de vente sont fractionnés en utilisant des méthodes d’optimisation dynamique. Enfin, ce domaine est dopé par l’importance des progrès technologiques de pointe. Ainsi, les acteurs de ces marchés utilisent des méthodes sophistiquées de traitement du signal et de l’image, et ne reculent pas devant les investissements massifs dans les moyens de communication de haute performance. Dans un article du
S’il n’est pas aisé d’encadrer l’utilisation des automates de trading chez tous les acteurs financiers, il est devenu nécessaire de s’interroger sur l’impact qu’auraient potentiellement les modèles sous-jacents sur la valorisation et sur les mesures de risques des portefeuilles d’instruments financiers de l’ensemble des intervenants.
Autres exemples
D’autres points sont souvent négligés dans la valorisation des produits dérivés. On peut ainsi mentionner les coûts de refinancement, les coûts administratifs futurs… Même si des progrès ont été faits, notamment sur le suivi du risque de liquidité (au sens du refinancement), des améliorations devraient encore être apportées.
Une représentation approchée de la réalité
L’utilisation de modèles mathématiques est inhérente aux marchés financiers, et malgré ce que l’on peut parfois penser, elle se révèle utile au plus grand nombre. Il n’est pas possible d’envisager des marchés financiers sans modèles mathématiques, au moins extrêmement basiques. Et ces modèles les plus simples ont prouvé leurs limites et doivent être perfectionnés.
En effet, tout modèle – et ceux propres aux mathématiques financières n’échappent pas à cette règle – n’est qu’une représentation approchée de la réalité. Tout utilisateur d’un modèle doit être conscient de ses limites et devrait avoir pour objectif de quantifier l’impact des approximations faites. L’utilisateur d’un modèle de valorisation ou de calcul de risque doit donc disposer d’une information suffisante sur celui-ci.
Si les conséquences de certaines approximations des modèles sont maintenant mieux mesurées et prises en compte, comme le risque de contrepartie via les CVA, d’autres doivent encore être mieux considérées. On pense, en particulier, aux phénomènes de liquidité endogène, amplifiés encore par l’utilisation croissante d’automates de trading à haute fréquence, qui devraient être mieux mesurés, afin de prendre en compte leur impact sur la valorisation et la quantification des risques des portefeuilles d’instruments financiers.
Les exemples précédents montrent la nécessité d’un investissement plus grand dans la modélisation en finance de marché. Un tel effort est nécessaire pour une meilleure appréhension des risques encourus, pour une meilleure conception des réserves de capital et pour la mise en place de mesures de précaution minimales permettant d’amortir les violentes secousses des crises financières qui apparaissent indéniablement de manière cyclique. Compte tenu de l’impact que peuvent avoir ces erreurs sur la société, et comme les événements de ces dernières années le montrent, il est nécessaire de renforcer à nouveau le contrôle indépendant des modèles de mathématiques financières utilisés. Un contrôle indépendant de premier niveau doit être réalisé en interne au sein des établissements de crédit qui les utilisent. Les modèles et leur processus de revue interne doivent ensuite être soumis à des contrôles externes : les modèles de valorisation seront examinés par les autorités comptables et de supervision, tout comme les modèles de calcul de risque par les superviseurs bancaires. Le même raisonnement s’applique aux modèles mathématiques utilisés par les autres acteurs de la vie économique que sont les compagnies d’assurances.
