Repères

L’intuition des martingales

Créé le

11.05.2012

-

Mis à jour le

24.05.2012

L’idée de martingale est intuitivement simple à comprendre, même pour un non-mathématicien : elle exprime mathématiquement la notion de jeu équitable (fair game), un jeu de hasard dans lequel aucun des joueurs ne doit être avantagé par rapport à l’autre.

Cette notion de jeu équitable se représente de la manière suivante : si Xt est le gain cumulé acquis au cours du jeu à une date quelconque t, personne ne sera avantagé si, à cette date, la valeur espérée du gain suivant Xt+1 ne peut être déduite des résultats précédents.

Autrement dit, le jeu sera équitable si l’espérance du gain supplémentaire est nulle, soit :

E (Xt+1 – Xt | Xt, Xt-1, Xt-2 … ) = 0

Ceci peut encore s’écrire :

E (Xt+1 | Xt, Xt-1, Xt-2 … ) = Xt

Soit, en français, « la meilleure prévision de Xt+1 connaissant toutes les valeurs passées Xt-1, Xt-2 … etc. est Xt : personne n’est avantagé sur la connaissance du futur en t+1 connaissant le passé de Xt. »

 

En écriture plus compacte, on synthétise E (Xt+1 | Xt, Xt-1, …) par Et (Xt+1) où l’indice t placé après le symbole de l’espérance mathématique résume la suite de valeurs précédentes de Xt. Avec cette notation, l’écriture représentant la propriété de martingale d’un processus aléatoire Xt est simplement :

Et (Xt+1) = Xt

Si, maintenant, X est un cours de Bourse actualisé, cela veut dire que la meilleure prévision du cours actualisé futur est le cours actualisé coté sur le marché. Cette représentation rejoint la notion de marché efficace au sens informationnel : si toute l’information nécessaire à l’évaluation de l’actif coté est passée dans le cours, alors on ne pourra pas espérer obtenir de gain supplémentaire en achetant l’actif. Les variations boursières redressées de l’actualisation présenteront la propriété statistique d’apparaître comme des tirages aléatoires sans mémoire, et on dira alors que les variations boursières actualisées évoluent « au hasard ».

À retrouver dans la revue
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Revue Banque Nº749bis