Une nouvelle méthode simple
et efficace pour simuler la volatilité

Sur les marchés financiers, ce n’est pas seulement le niveau des prix qui importe, mais leur incertitude. Cette incertitude porte un nom : la volatilité. Elle mesure l’ampleur des variations du prix d’un actif financier, comme une action ou un indice boursier. Plus un actif est volatil, plus ses prix peuvent fluctuer fortement à la hausse ou à la baisse sur de courtes périodes.

Devenue un indicateur incontournable, la volatilité est suivie quotidiennement par les investisseurs pour évaluer le niveau d’incertitude ou de stress sur les marchés. Elle donne lieu au célèbre indice VIX, calculé par le Chicago Board Options Exchange (CBOE), souvent surnommé « l’indice de la peur ». Le VIX reflète les anticipations de volatilité du marché pour les 30 prochains jours, à partir des prix des options cotées sur l’indice S&P 500. Autrement dit, il ne mesure pas la volatilité passée, mais ce que les acteurs de marché prévoient pour l’avenir.

En période de stabilité, le VIX reste à des niveaux relativement bas (voir graphique 1). En revanche, lors de phases d’incertitude ou de crise, qu’il s’agisse d’annonces politiques, de tensions géopolitiques ou de turbulences financières, le VIX peut s’envoler brutalement. Cela traduit une forte augmentation de la demande de couverture de la part des investisseurs.

On observe ce phénomène à plusieurs reprises : pendant la crise du Covid-19 en 2020, ou plus récemment, lors des annonces de nouvelles taxes douanières par Donald Trump, dans le contexte des tensions commerciales entre les États-Unis et le reste du monde. Ces annonces ont entraîné une baisse rapide du S&P 500, immédiatement accompagnée d’un pic de volatilité. Ce type de réaction montre à quel point la volatilité n’est pas seulement un objet d’analyse théorique, mais un indicateur clé, suivi en temps réel, au cœur des décisions financières et de la gestion des risques.

Mais la volatilité ne sert pas qu’à jauger l’humeur des marchés. Elle joue aussi un rôle central dans la valorisation des produits dérivés, et en particulier des options. Plus un actif est volatil, plus la valeur d’une option portant sur cet actif sera élevée, car les fluctuations futures augmentent les chances de gain potentiel pour l’acheteur de l’option.

Le modèle historique le plus célèbre pour valoriser et couvrir les options est celui de Black & Scholes (1973). Leur formule, saluée par un prix Nobel en 1997, a profondément marqué le développement des marchés financiers modernes. Elle repose toutefois sur une hypothèse forte : celle d’une volatilité constante au cours du temps. Or, les données de marché montrent clairement que cette hypothèse est irréaliste : la volatilité évolue dans le temps, influencée par le contexte économique, les anticipations des investisseurs ou encore par des chocs exogènes.

Comment alors bien modéliser une volatilité qui varie dans le temps ? Cette question a donné naissance à une nouvelle génération de modèles dits à volatilité stochastique. Parmi eux, le modèle de volatilité stochastique de Heston (1993) s’est imposé comme un standard dans l’industrie financière. Il a été conçu précisément pour corriger la principale limite du modèle de Black et Scholes.

En particulier, il permet de mieux reproduire certaines caractéristiques des prix d’options observées sur les marchés, notamment l’asymétrie des prix d’options, appelée skew : les options de vente très en dehors de la monnaie sont plus chères, car la volatilité implicite y est plus élevée (voir graphique 2). Un mot sur cette volatilité implicite. C’est une autre façon d’exprimer le prix des options : au lieu de donner directement le prix en dollars, on indique le niveau de volatilité que le marché « suppose » pour justifier ce prix. C’est une sorte de traduction du prix de l’option en termes de risque anticipé. Plus la volatilité implicite est élevée, plus cela signifie que les investisseurs anticipent des mouvements importants du marché. Plus précisément, la volatilité implicite correspond à la volatilité qu’il faut injecter dans le modèle de Black & Scholes pour que le prix théorique de l’option corresponde à son prix observé sur le marché.

Ce skew n’est, au fond, qu’une autre manifestation d’un phénomène : les marchés actions et la volatilité évoluent souvent en sens inverse. Une chute du S&P 500 s’accompagne généralement d’une hausse brutale du VIX : en effet une baisse du niveau de prix des sociétés cotées s’associe naturellement à une augmentation de la perception de l’incertitude de leur valorisation pour les semaines à venir. Le modèle de Heston capte ce comportement grâce à une corrélation négative entre le prix de l’actif et sa volatilité.

Cependant, utiliser le modèle de Heston en pratique n’est pas sans difficulté. Sa dynamique repose sur des équations stochastiques complexes et des contraintes mathématiques fortes. Par exemple sur la calibration. Cela consiste à ajuster les paramètres d’un modèle mathématique pour qu’il corresponde aux données observées sur les marchés financiers Ainsi, lorsqu’on calibre le modèle aux prix d’options du marché, les valeurs des paramètres doivent parfois être poussées à l’extrême pour pouvoir reproduire les hausses brutales de volatilité, notamment lors de chocs courts mais violents. Cela rend la simulation numérique du modèle délicate, surtout dans un cadre industriel où des millions de scénarios doivent être simulés rapidement et avec précision.

C’est dans ce contexte que s’inscrivent mes travaux. Dans mon article Simulation of square-root processes made simple : applications to the Heston model, présenté lors de la 18^e édition du Financial Risks International Forum organisé par l’Institut Louis Bachelier, j’ai proposé une nouvelle méthode de simulation numérique du modèle de Heston, fondée sur un changement de perspective simple mais puissant, avec l’objectif de concilier précision théorique et performance numérique.

Mais repartons du modèle de Heston. Il repose sur deux équations différentielles stochastiques couplées (voir encadré) : l’une pour le prix de l’actif (par exemple le S&P 500), l’autre pour sa variance (carré de la volatilité) instantanée. Ce qui rend ce modèle riche, c’est que la volatilité elle-même suit une dynamique aléatoire, influencée par un mouvement brownien. De plus, les deux mouvements, celui du prix et celui de la volatilité, sont corrélés, ce qui permet de reproduire des comportements réalistes observés sur les marchés financiers. Un exemple typique est l’effet de levier : une chute brutale des marchés est souvent accompagnée d’un pic de volatilité, entraînant des prix d’options déviants, notamment dans le skew des options. Une étude détaillée démontre l’efficacité du modèle (voir graphique 3).

Mais cette sophistication a un coût : elle rend délicate la simulation numérique de la volatilité dans le modèle. En particulier, lorsque la volatilité frôle zéro, les algorithmes classiques sont déstabilisés. Ensuite, il faut s’assurer que la volatilité reste toujours positive. Enfin, les paramètres calibrés sur les marchés réels (forte réversion à la moyenne, volatilité de la volatilité élevée) aggravent ces difficultés.

Ces graphiques montrent les prix d’options calibrés d’un modèle de Heston (en vert) par rapport aux prix réels observés sur le marché (bid/ask en bleu et rouge), pour quatre maturités différentes. Les prix d’exercice sont représentés en abscisse, et le prix de l’actif sous-jacent est fixé à S_o = 100 Le modèle de Heston permet de bien reproduire la surface de volatilité observée, notamment la tendance que les options de vente (à gauche de 100) soient plus chères que les options d’achat (à droite de 100).

Pour surmonter ces défis, je propose une approche originale articulée autour de deux idées clés. La première est une observation simple : c’est la variance intégrée, et non la variance instantanée, qui intervient directement dans la valorisation des options. Plutôt que de simuler la variance instantanée à chaque pas de temps, comme le font les méthodes classiques dans la littérature, je choisis donc de simuler directement son intégrale dans le temps.

La seconde idée, plus technique, émerge lors de l’approximation en temps discret de cette intégrale. Elle fait naturellement apparaître la distribution dite « inverse gaussienne », qui décrit le temps nécessaire à un mouvement brownien pour atteindre un certain niveau. Cette idée, qui remonte aux travaux fondateurs de Louis Bachelier (1900), réapparaît ici dans un cadre moderne, à la croisée des mathématiques appliquées et de la finance quantitative. On retrouve d’ailleurs cette même distribution dans des domaines aussi variés que la physique, la biologie ou les neurosciences, illustration de l’universalité du mouvement brownien dans la modélisation des phénomènes aléatoires.

Le nouveau schéma que je propose permet une réduction significative du temps de simulation, notamment lors de la génération de millions de scénarios pour l’évaluation, tout en conservant une excellente précision (voir graphique 4).

Ces graphiques illustrent deux trajectoires simulées dans le modèle de Heston, montrant qu’une baisse du prix s’accompagne typiquement d’un pic de la variance instantanée, comme observé en pratique.

Bien que le modèle de Heston introduise une composante de volatilité stochastique, il ne suffit pas à reproduire certains comportements extrêmes observés sur les marchés financiers, notamment en ce qui concerne l’évolution conjointe des prix d’options sur les indices S&P 500 et VIX présentés plus haut. Le modèle de Heston reste un pilier fondamental de la finance moderne, mais pour mieux capter des phénomènes de marché plus complexes et extrêmes, de nouveaux modèles ont vu le jour.

C’est le cas du modèle Quintic, développé avec mes collaborateurs Camille Illand (analyste quantitatif chez AXA Investment Managers) et Shaun Li (ancien doctorant). Il permet de mieux reproduire les surfaces de volatilité des indices S&P 500 et VIX (voir graphique 5).

Depuis la thèse pionnière de Louis Bachelier en 1900, qui a introduit le premier modèle mathématique pour la modélisation des marchés financiers, les modèles ont considérablement évolué, pour mieux capter les comportements complexes du marché.

Cependant, à mesure que les marchés financiers deviennent de plus en plus complexes et qu’émergent de nouveaux produits financiers et technologies – tels que la blockchain ou l’intelligence artificielle (IA) –, la modélisation mathématique des marchés et de la volatilité reste un domaine en constante évolution.

Les mathématiques continuent de jouer un rôle fondamental dans la compréhension et la description des marchés financiers dans ce contexte dynamique. La recherche mathématique est ainsi un moteur essentiel de progrès. Au Centre de Mathématiques Appliquées (CMAP) de l’École polytechnique, notre équipe de mathématiques financières travaille en étroite collaboration avec des partenaires industriels, développant des modèles sophistiqués et des outils mathématiques adaptés aux défis de la finance moderne. Nous intégrons également l’expertise de nos étudiants et de nos doctorants, formés à la pointe des mathématiques financières et des techniques d’IA, tout en garantissant un fondement théorique solide. En agissant ainsi, nous contribuons activement à l’avancement des connaissances et à l’innovation dans le secteur financier, apportant des solutions pratiques et efficaces aux défis d’un environnement financier en perpétuelle mutation.